Materi Turunan dan Integral
TURUNAN
Turunan adalah pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai input, atau secara umum turunan menunjukkan bagaimana suatu besaran berubah akibat perubahan besaran lainnya. Proses dalam menemukan turunan disebut diferensiasi.
· y’ adalah simbol untuk turunan pertama.
· y’’ adalah simbol untuk turunan kedua.
· y’’’ adalah simbol untuk turunan ketiga.
· dy/dx juga termasuk symbol turunan.
1. Turunan Pertama
Rumus :
y = Cxn
ket : C & n = Konstanta Real
contoh :
· y = 2x4 , maka dy/dx = 2 . 4 x 4-1 = 8x3
· y = x3 + 2x2 , maka dy/dx = 3x2 + 4 x
2. Turunan Kedua
Turunan kedua dinotasikan sebagai berikut :
d2y/d2x atau y’’
Turunan kedua merupakan turunan yang diperoleh dengan menurunkan kembali turunan pertama. Perhatikan contoh berikut :
y = x3 + x2 + x + 4
dy/dx = 3x2 + 2x + 1
d2y/d2x = 6x + 2
3. Turunan Trigonometri
Berikut rumus turunan fungsi Trigonometri :
a) f (x) = sin x , maka f ‘ (x) = cos x
b) f (x) = cos x , maka f ‘ (x) = - sin x
c) f ‘ (x) = sec2x = 1/cos2x
perhatikan contoh berikut :
jika y = x2 sin 2x , maka dy/dx ?
jawab :
y = x2 sin 2x
misalkan :
u(x) = x2 , maka u’(x) = 2x
v(x) = sin2x , maka v’(x) = 2 cos 2x
y = u(x) . v(x)
y ‘ (x) = u’(x)v(x) + u(x) v’(x)
= 2x (sin 2x) + x2 (2 cos 2x)
= 2x sin 2x + 2x2 cos 2x
TURUNAN IMPLISIT
Turunan implisit yaitu memuat 2 variabel atau lebih, variable – variable tersebut terdiri dari variable bebas dan tidak bebas, biasanya variable tersebut dinyatakan dalam x dan y dimana variable x dan y terletak di dalam satu ruas sehingga tidak dapat dipisahkan.
a. Bentuk umum fungsi implisit
Secara umum bentuk turunan fungsi implisit adalah f (x,y) = 0, mencari turunan fungsi implisit sama dengan mencari solusi bentuk umumnya dan prinsipnya tidak jauh berbeda dengan mencari turunan fungsi biasa.
Contoh :
x2 + y2 - 5x + 8y + 2xy2 = 19
langkah pertama : Turunkan suku-suku x dan konstanta pada kedua sisi persamaan sesuai aturan turunan biasa untuk memulainya. Abaikan suku-suku y untuk sementara.
x2 + y2 - 5x + 8y + 2xy2= 19 memiliki dua suku x : x2 dan -5x. Jika kita ingin menurunkan persamaan, kita harus mengerjakan ini terlebih dahulu,
seperti ini:
x2 + y2 - 5x + 8y + 2xy2 = 19
(Bawalah turun pangkat 2 dalam x2 sebagai koefisien, hapus x dalam -5x, dan ubah 19 menjadi 0)
2x + y2 - 5 + 8y + 2xy2 = 0
Langkah kedua : Turunkan saja suku-suku y dengan cara yang sama seperti Anda menurunkan suku-suku x. Akan tetapi, kali ini, tambahkan (dy/dx) di sebelah masing-masing suku seperti Anda menambahkan koefisien. Misalnya, jika Anda menurunkan y2, maka turunannya menjadi 2y (dy/dx). Abaikan suku-suku yang memiliki x dan y untuk sementara. Kita akan melakukan langkah penurunan y selanjutnya seperti berikut:
2x + y2 - 5 + 8y + 2xy2 = 0
(Bawalah turun pangkat 2 dalam y2 sebagai koefisien, hapus y dalam 8y, dan letakkan dy/dx di sebelah masing-masing suku).
2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2xy2= 0
Langkah ketiga : mensubstitusikan suku – suku yang memiliki x dan y. Dalam contoh kita,
2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2xy2 = 0
kita hanya memiliki satu suku yang memiliki x dan y yaitu 2xy2. Karena x dan y dikalikan satu sama lain, kita akan menggunakan aturan hasil kali untuk menurunkan seperti berikut:
2xy2 = (2x)(y2)
Missal : 2x = u
y2 = v
dalam (u × v)' = u' × v + v × u'
(u × v)' = (2x)' × (y2) + (2x) × (y2)'
(u × v)' = (2) × (y2) + (2x) × (2y(dy/dx ))
(u × v)' = 2y2 + 4xy(dy/dx)
Menambahkan ini ke persamaan utama kita, jadi :
2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2y2 + 4xy(dy/dx) = 0
Langkah keempat : Sendirikan (dy/dx). Sekarang, yang harus di lakukan adalah menyelesaikan persamaan (dy/dx). Yaitu dengan proses distributive perkalian, dapat ditulis sebagai (a + b)(dy/dx). pindahkan semua suku lainnya di sisi lain dari tanda kurung, kemudian bagilah dengan suku-suku dalam tanda kurung di sebelah (dy/dx).
2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2y2 + 4xy(dy/dx) = 0
seperti berikut:
2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2y2 + 4xy(dy/dx) = 0
(2y + 8 + 4xy)( dy/dx) + 2x - 5 + 2y2 = 0
(2y + 8 + 4xy)( dy/dx) = -2y2 - 2x + 5
(dy/dx) = (-2y2 - 2x + 5)/(2y + 8 + 4xy)
Jadi, hasilnya berikut :
(dy/dx) = (-2y2 - 2x + 5)/(2(2xy + y + 4)
ATURAN RANTAI
Aturan Rantai merupakan aturan yang digunakan untuk menyelesaikan turunan fungsi komposisi. Aturan ini membantu menyelesaikan turunan fungsi yang terdiri dari komposisi 2 fungsi atau lebih. Cara menyelesaikannya adalah memecah komposisi fungsi tersebut menjadi beberapa. Komposisi fungsi yang biasanya diturunkan dengan aturan rantai adalah bentuk pangkat dari fungsi aljabar yang terdiri dari beberapa suku.
Contoh 1:
f(x) = (3x – 2)2
untuk menentukan turunannya, maka (3x – 2)2 diuraikan.
f(x) = 9x2 – 12x + 4, sehingga
f ’(x) = 18x – 12
contoh 2:
f(x) = (3x – 2)4
Jadikan fungsi diatas menjadi sebuah komposisi.
Misal u = 3x – 2 , maka f(x) = u4
Lalu selesaikan turunan f terhadap u, kemudian turunkan u terhadap x, seperti berikut :
Menggunakan rumus :
dy/dx = dy/du . du/dx atau df/dx = df/dx . du/dx
y = f (x) = (3x – 2)4
Misal u = 3x – 2 , maka y = u4
dy/dx = dy/du . du/dx
= d(u4)/du . d(3x – 2)/dx
= 4u3 x 3
= 12u3
Jadi, dy/dx = 12 (3x – 2)3
PENERAPAN TURUNAN DI KEHIDUPAN SEHARI-HARI
Salah satu konsep turunan yang sering digunakan adalah turunan pertama dan nilai maksimum serta minimum fungsi. Konsep turunan pertama fungsi banyak digunakan dalam masalah kecepatan dengan diketahui fungsi posisinya, sedangkan konsep nilai maksimum dan minimum fungsi digunakan dalam masalah luas seperti luas tanah dan bangunan, volume bangun ruang, dan ilmu ekonomi.
Contoh soal :
Seorang anak menargetkan seekor burung dengan menggunakan ketapel yang bertengger di sebuah pohon. Ketinggian pohon h = f (t) (dalam meter) pada t sekon dimodelkan dengan
f (t) = 8t2 + 250 t + 5. Tentukan kecepatan luncur kembang api saat t = 5 sekon.
Penyelesaian:
Diketahui ketinggian pohon saat t sekon adalah:
f (t) = 8t2 + 250 t + 5
Diketahui ketinggian pohon saat t sekon adalah:
f (t) = 8t2 + 250 t + 5
Kecepatan luncur peluru ketapel diperoleh turunan pertama dari fungsi ketinggian (posisi) peluru ketapel sebagai berikut.
f ‘ (t) = 16t + 250
⇔f ‘ (5) = 16(5) + 250 = 80 + 250 = 330
f ‘ (t) = 16t + 250
⇔f ‘ (5) = 16(5) + 250 = 80 + 250 = 330
Jadi, kecepatan meluncur peluru ketapel saat t = 5 sekon adalah 330 m/s.
INTEGRAL
Integral merupakan kebalikan dari turunan. Jika F(x) adalah fungs umum yang bersifat F(x) = f(x), maka F(x) merupakan anti turunan atau integral dari f(x). Pengintegralan fungsi f(x) terhadap x dinotasikan sebagai berikut :
∫ f(x) dx = F(x) + C
Keterangan :
∫ = notasi integral
f(x) = fungsi integral
F(x) = fungsi integral umum yang bersifat F(x) = f(x)
C = Konstanta
1. INTEGRAL TAK TENTU
Rumus Dasar :
a) ∫ a dx = ax + c
b) ∫ xn dx = 1/n+1 xn+1 + C dengan catatan n ≠ -1
c) Integral Tak Tentu Fungsi Trigonometri
§ ∫ sin x dx = - cos x + C
§ ∫ cos x dx = - sin x + C
Contoh :
o ∫ 2x2 + 4x + 8 dx = 2/2+1 x2+1 + 4/1+1 x1+1 + 8x + c
= 2/3 x3 + 2x2 + 8x + c
o ∫ (2 sin x + cos 4x) dx = -2 cos x + ¼ sin 4x + c
2. INTEGRAL TENTU
Integral Tentu adalah integral dengan batas-batas yang sudah di tentukan, dengan dinotasikan sebagai berikut :
∫ba f(x) dx = [F(x)]ba = F(b) – F(a)
Keterangan :
A dan b adalah batas bawah integral dan batas atas integral.
Contoh :
Tentukan nilai dari ∫21 (4x3 + 2x3) dx?
Penyelesaian :
∫21(4x3 + 2x3)dx = [4/4x4 + 2/4x4]21
=( (2)4 + ½(2)4 ) – ( (1)4+ ½(1)4 )
= (16 + 8) – (1+ ½ )
= 24 – 1 ½
= 22 ½
A. INTEGRAL PARSIAL
Integral Parsial adalah suatu cara untuk menaikan pangkat suatu bilangan dua perkalian fungsi yang berbeda sehingga fungsi bilangan tersebut dapat menaikan pangkatnya (diintegralkan). Integral parsial dihubungkan dengan fungsi bilangan (u) dan (dv) yang fungsi tersebut akan dikali dan diintegralkan sesuai dengan aturan rumus integral parsial.
Integral Parsial memiliki cara khusus dimana dua bilangan fungsi dari (u) dan (dv) akan dihitung untuk mencari penurunan pangkat dari (u) atau biasa disebut (du) dan mencari kenaikan pangkat (dv) atau biasa disebut (v).
RUMUS UMUM :
∫ u.dv = u.v - ∫ v.du
Keterangan :
Dengan (u) sebagai F(x) dan (du) sebagai F(x)'. Dan untuk fungsi (v) dan (dv) dalam soal kita memilih fungsi (dv) dengan syarat (dv) diintegralkansehingga membentuk (v). Setalah menemukan turunan (u) menjadi (du)dan integral (dv) menjadi (v). Nilai akan siap dimasukan ke dalam rumus integral parsial.
Contoh :
Untuk (u) kita mengambil fungsi x2 dan (dv) adalah (x2 + 6x + 9) sehingga
(u) = x2 diintegralkan, hasilnya menjadi :
(dv) = (x2 + 6x + 9) diintegralkan, hasilnya menjadi :
(v) = (1/3x3 + 3x2 + 9x)
Setelah menemukan u, du, dv dan v kita melanjutkan dengan rumus Parsial, sebagai berikut :
∫ u.dv = u.v - ∫ v.du
Masukkan nilai u, du, dv dan v kedalam rumus :
∫ x2 (1/3 x3 + 3x2 + 9x) = (x2) (1/3x3 + 3x2 + 9x) - ∫(1/3 x3 + 3x2 + 9x) (2x)
= 1/3 x5 + 3x4 + 9x3 - ∫ 2/3x4 + 6x3 + 18x2
= 1/3 x5 + 3x4 + 9x3 – 2/15 x5 + 3/2x4 + 6x3
=1/3 x5 – 2/15 x5 + 3x4 + 3/2 x4 + 9x3 + 6x3
Jadi integral parsial dari ∫ x2.(x+3)2 hasilnya 1/5x5 + 4 ½ x4 +15 x3
B. INTEGRAL SUBSTITUSI
Integral Substitusi juga merupakan salah satu teknik penyelesaian integral. Untuk menentukan ∫ f(x) dx , kita dapat mensubstitusikan u = g(x), dengan g fungsi yang dapat diintegralkan. Apabila substitusi itu mengubah f(x) dx menjadi h(u) du dan apabila H sebuah anti turunan dari h, maka kita dapat menotasikannya sebagai berikut :
∫ f(x) dx = ∫ h(u)du = H(u)+C = H( g(x) )+C
Contoh soal :
Tentukan integral dari: ∫(x2+2)2dx
Penyelesaian :
Kita Misalkan :
u = x2+2
du/dx = 2x
dx = ½ x du
Baru kita substitusikan ke soal :
∫(x2+2)2dx = ∫ u2. ½ x du
= ½ .1/2+1 u2+1+C
= 1/6 u3+C, u = x2+2
= 1/6(x2+2)3+C
Jadi, integral substitusi dari ∫( x2+2)2 dx adalah 1/6(x2+2)3+C
Integral dalam kehidupan sehari-hari sangatlah luas cangkupannya seperti digunakan di bidang teknologi, fisika, ekonomi, matematika, teknik dan bidang-bidang lainnya.
Contoh soal yang menggunakan integral dalam bidang ekonomi :
Diketahui MR suatu perusahaan adalah 12x2+6x-5, tentukan penerimaan totalnya (TR), jika c = 0?
TR = ∫ MR dx
= ∫12x2+6x-5
= 12 1/3 x3 + 6 ½ x2-5x+C
= 4x3+3x2-5x
Jadi, Penerimaan totalnya (TR) adalah 4x3+3x2-5x
Ket :
MR (Management Representative)
